SMIHBP Learn

Aplikasi: Titik Minimum dan Titik Maksimum

Aplikasi Interaktif Pembezaan Tingkatan 5

Aplikasi Pembezaan: Nilai Maksimum & Minimum

Mari visualisasikan hubung kait konsep Matematik Tambahan (Tingkatan 5 Bab 2) secara interaktif menggunakan contoh dunia nyata!

Kenapa Kita Guna Pembezaan?

Dalam kehidupan seharian, kita sering menghadapi masalah pencarian keadaan terbaik atau paling optimum. Contohnya:

  • Menghasilkan ruang kebun paling besar dengan kos dawai pagar terhad. (Nilai Maksimum)
  • Menghasilkan tin pembungkusan minuman dengan aluminium paling minimum bagi menjimatkan kos kilang. (Nilai Minimum)

🔑 Formula Rahsia: Titik Pegun & Kecerunan

Titik maksimum atau titik minimum pada suatu lengkung dipanggil sebagai Titik Pegun. Di titik puncak (atau lembah) ini, garis tangen akan berada dalam keadaan mendatar tepat (mengufuk).

Kecerunan Tangen, m = 0 ⇒ dydx = 0

Sila klik tab di atas untuk mula meneroka simulasi interaktif.

🌾 Projek Memaksimumkan Luas Kebun

Diberi panjang dawai pagar ialah 40 meter. Sisi bertentangan dinding tidak memerlukan pagar.

DINDING PEJAL / BATU
Luas
x m
x m
y m
Lebar Kebun, x : 10 m
Lebar Kebun (x)
10 m
Panjang Pagar (y = 40 – 2x)
20 m
Luas Kebun (A = xy)
200.0 m²
Kecerunan Tangen (dAdx)
0.0
Menganalisis…

📈 Graf Luas (A) Melawan Lebar (x)

Garis ungu menunjukkan Tangen. Tangen mengufuk (Kecerunan = 0) menandakan luas adalah maksimum!

🧮 Langkah Kerja Matematik

Langkah 1: Bentukkan Fungsi Luas â–¼
Diberi perimeter pagar: 2x + y = 40 ⇒ y = 40 – 2x
Fungsi Luas, A = xy:
A = x(40 – 2x)
A = 40x – 2x2
Langkah 2: Bezakan Luas Terhadap x â–¼
Lakukan pembezaan peringkat pertama terhadap A:
dAdx = ddx(40x – 2x2)
dAdx = 40 – 4x
Langkah 3: Tentukan Titik Pegun (dAdx = 0) â–¼
Pada nilai maksimum, kecerunan tangen adalah sifar:
40 – 4x = 0 ⇒ 4x = 40
x = 10 m
Langkah 4: Cari Nilai Luas Maksimum â–¼
Gantikan x = 10 ke dalam fungsi asal A:
A = 40(10) – 2(10)2 = 400 – 200
Amaks = 200 m2
Langkah 5: Ujian Pembezaan Kedua â–¼
Bezakan sekali lagi bagi mengesahkan kepuncak maksimum:
d2Adx2 = -4
Kerana -4 < 0 (Negatif), ini sah merupakan satu Titik Maksimum (bentuk bukit ∩).

🥫 Projek Pengurangan Kos Tin Minuman

Isi padu tin aluminium dihadkan tepat kepada 250π cm³ (≈785.4 cm³). Cari luas permukaan minimum.

r
h
Jejari Tin, r : 5.0 cm
Jejari (r)
5.0 cm
Tinggi (h = 250r2)
10.0 cm
Luas Permukaan (A)
471.2 cm²
Kecerunan Tangen (dAdr)
0.0
Menganalisis…

📈 Graf Luas Permukaan (A) Melawan Jejari (r)

Garis ungu menunjukkan Tangen. Tangen mengufuk (Kecerunan = 0) menandakan kos tin paling menjimatkan!

🧮 Langkah Kerja Matematik

Langkah 1: Hubung kait Pemboleh Ubah â–¼
Isi padu tetap silinder: V = πr2h = 250π
Ungkapkan h dalam sebutan r:
h = 250r2
Langkah 2: Bina Fungsi Luas Permukaan (A) â–¼
Rumus Luas Permukaan Tin (2 bulatan + 1 selimut melengkung):
A = 2πr2 + 2πrh
Masukkan nilai h tadi:
A = 2πr2 + 2πr(250r2)
A = 2πr2 + 500πr
Langkah 3: Bezakan A terhadap r â–¼
Tulis semula sebagai A = 2πr2 + 500πr-1 dan bezakan peringkat pertama:
dAdr = 4πr – 500πr-2
dAdr = 4πr – 500πr2
Langkah 4: Tetapkan dAdr = 0 Untuk Keadaan Minimum â–¼
4πr – 500πr2 = 0 ⇒ 4πr = 500πr2
r3 = 125
r = 5 cm
Langkah 5: Ujian Pembezaan Kedua â–¼
Bezakan sekali lagi daripada dAdr:
d2Adr2 = 4π + 1000πr3
Gantikan r = 5:
d2Adr2 = 4π + 8π = 12π
Oleh sebab 12π > 0 (Positif), ini sah merupakan satu Titik Minimum (bentuk lembangan ∪).
Previous Lesson
Back to Course